School

de fysica van muziek




experimenteel onderzoek

door tammo jan dijkema

1998 / 1999


Naschrift 2006

Ik heb gemerkt dat dit stuk wel eens wordt gebruikt voor profielwerkstukken in de nieuwe tweede fase. Dat vind ik erg leuk. Ik moet wel opmerken dat deze pagina ook gewoon een profielwerkstuk is, en dus foutjes kan bevatten die ik als VWO6-scholier heb gemaakt. Lees het onderstaand dan ook met een korreltje zout, doe leuke ideeën op, en zoek ook nog even in de bibliotheek. Of kijk eens op Wikipedia, bijvoorbeeld onder stemming.


Inhoudsopgave


Inhoudsopgave

Inleiding

Het bepalen van een frequentie

Manier 1: het meten van de trillingstijd.

Manier 2: IP-Coach.

Aliasing

Manier 3: het ijken van de snaar.

Manier 4: Het voelen van resonantie.

Conclusie.

Welke samenklanken zijn mooi?

Toonladders

Nawoord.

Bronvermelding / Dankbetuiging.


Inleiding

Ik heb dit onderwerp, de fysica van muziek, gekozen omdat ik zelf al jaren accordeon speel. Dit heeft voor mij het voordeel, dat ik al vrij veel van muziek weet. Dat is direct een nadeel voor de geachte lezer. Daarom zal ik kort de meest gebruikte muziektermen uitleggen.

Ik citeer: De physische formule voor hetgeen men onder "muziek" verstaat, zegt ons: "Muziek is een kunstvorm, die haar gestalte ontvangt van in den tijd, naar hun hoogte en naar hun volume geordende klanken"

Om die klanken te ordenen, is een systeem nodig. In de natuurkunde is het gebruikelijk om voor een toonhoogte een frequentie te geven. Musici gebruiken vaak een notatie met vijf lijnen waartussen bolletjes worden geplaatst. Hoewel die notatie voor het musiceren erg gemakkelijk is, wil ik in dit onderzoek toch een andere ordening aanhouden. Ik zal het voornamelijk hebben over intervallen. Het gaat in de muziek (en zeker in de muziektheorie) nauwelijks om frequenties, als wel om frequentieverhoudingen. Als we namelijk alle frequentieverhoudingen weten, kunnen we aan de hand van slechts één frequentie alle andere bepalen. Die ene frequentie is internationaal vastgesteld op 440 Hz, maar is door de eeuwen heen ook hoger en lager geweest, en de laatste trend is dat men iets hoger dan deze frequentie aanhoudt. Door frequentieverhoudingen te gebruiken, kan je beter algemeen geldende uitspraken doen dan door middel van frequenties. Sommige frequentieverhoudingen hebben een vaste naam, namelijk:

Priem 1/1
Secunde 9/8
Terts 5/4
Kwart 4/3
Kwint 3/2
Sext 5/3
Septiem 15/8
Octaaf 2/1

Deze verhoudingen neem ik als uitgangspunt, niet alleen omdat ze in BINAS staan, maar ook omdat door een eenvoudig experiment met mijn monochord blijkt dat deze tonen het best samen klinken. Voor de naamgeving maakt het uiteraard niet uit of de tonen tegelijk of na elkaar worden voortgebracht.

In dit onderzoek wil ik het uitdrukkelijk niet over toonkleur of timbre hebben. Die begrippen houden in hoe de geluidssterktes van de boventonen van een instrument zich verhouden. Die boventonen zijn echter wel vrij belangrijk in het onderzoek, omdat mijn "monochord" een snaarinstrument heeft en dus wel degelijk boventonen heeft. Het is aardig om te zien dat de verhoudingen van de boventonen tot op zekere hoogte overeenkomen met die van de nevenstaande frequentieverhouding. De boventonenreeks van een frequentie f bestaat uit tonen met de frequenties f, 2f, 3f, 4f, 5f, 6f, enz. De eerste boventoon komt overeen met het octaaf, de derde boventoon ligt een kwint boven de tweede, de vierde boventoon een octaaf, de vijfde boventoon een kwart, en zo kan men steeds verder doorrekenen.

Een belangrijk uitgangspunt in dit onderzoek is dat de octaaf "heilig" is. In alle muziekstelsels die afzonderlijk in de hele wereld zijn ontstaan, speelt de octaaf een belangrijke rol. Er zijn musicologen, die menen dat het komt door de vorm van de gang van Corti in het menselijk oor. Uit één van mijn experimentjes blijkt wel duidelijk, dat de octaaf het mooist is, maar ik zal dit verder niet verklaren, deels omdat ik dat niet kan, maar deels ook omdat ik mij in het onderzoek moet beperken tot een bepaald gebied van tonen.

Voor dit onderzoek heb ik me niet vooraf een concreet doel gesteld, het doel was globaal wat te weten te komen over de fysica van de muziek. In de loop van mijn onderzoek hebben zich drie gebieden zich onderscheiden, te weten:

  1. Het bepalen van een frequentie. In de natuurkunde wordt vaak gesproken over en gerekend met frequenties, maar hoe kan je nu eigenlijk goed een frequentie bepalen? Hierover gaat het eerste deel van mijn onderzoek.
  2. Welke samenklanken zijn mooi? Soms hoor je twee tonen tegelijk en dan wil je het liefst je vingers in je oren stoppen omdat het door merg een been gaat. Andere tonen klinken juist fijn. Is hier een soort algemene smaak te ontdekken, en dan nog het liefst één die te verklaren is? Hierover gaat het tweede deel.
  3. Waarom is de octaaf onderverdeeld in 12 tonen? En waar komen de verhoudingen in BINAS vandaan? Hier probeer ik in het derde deel achter te komen.

Ik denk dat het onderzoek zo redelijk te lezen moet zijn. Natuurlijk houd ik mij voor op- of aanmerkingen aanbevolen.


Tammo Jan Dijkema

6 januari 1999



Het bepalen van een frequentie

Net als Pythagoras een paar duizend jaar geleden, heb ik bij mijn onderzoek een zogenaamd monochord gebruikt. Een monochord is een instrument met één (mono) snaar (chord). Door die snaar in tweeën te delen (door middel van een wig) kunnen twee verschillende tonen worden voortgebracht door die ene snaar. De verhouding van de frequenties van die tonen is dan precies omgekeerd met de verhouding van de lengte van de snaardelen; de frequentie is omgekeerd evenredig met de lengte van de snaar (dit wordt nog toegelicht).

Pythagoras had zijn monochord waarschijnlijk in de monochordenwinkel gekocht, maar aangezien die er tegenwoordig niet meer zoveel zijn, heb ik zelf een vergelijkbaar instrument gebouwd. Daarvoor heb ik materialen gebruikt die toevallig voorhanden waren, dus daar is niet specifiek over nagedacht. De bouwtekening van mijn "monochord" ziet er als volgt uit:



Als klankkast heb ik een PVC-rioleringsbuis gebruikt. Door middel van een paar bouten heb ik daarop een gitaarsnaar bevestigd. Onder de snaar zit nog een bout om te voorkomen dat de snaar tegen de buis trilt. Op ongeveer een decimeter afstand vanaf de bevestiging van de snaar heb ik aan weerszijden een flink gat geboord, zodat de geluidsgolven in de buis terechtkomen.

Dat de "buisversterking" werkt is simpel te controleren: hou de buis voor je en sla een toon aan, sla nog een toon aan maar dan met je oor in de buis. Conclusie: het geluid wordt door de buis versterkt. Dit komt doordat de lucht in de buis gaat meetrillen met de snaar. Als je de buis op tafel legt is de versterking nog beter: de tafel gaat dan ook meetrillen.


Tussen de verhouding van de golflengte en de frequentie van een toon bestaat het volgende verband:

λ = v / f. Hierin is λ de golflengte, v de voortplantingssnelheid van de golf en f de frequentie. Voor v geldt:

v = √T / √μ. Hierin is T de spanning en μ het gewicht van de snaar per meter. Deze formule heb ik op internet gevonden, maar dat hij klopt is gemakkelijk na te gaan: een strakker gespannen snaar geeft een hogere voortplantingssnelheid, dus een hogere frequentie (want de golflengte is constant) en een dikkere snaar een lagere. De eenheden kloppen ook perfect:

m/ s = √N / √kg m-1 = √(kg m s-2 kg-1 m) = √(m2 / s2) = m/s

v is voor deze snaar dus een constante.

Voor de staande golf in een snaar die aan twee uiteinden vast is bevestigd, geldt namelijk:

l = n ½ λ , waarbij n ∈ {1,2,3,…}. l is de lengte van de snaar, λ de golflengte en n een willekeurig getal. Voor de grondtoon geldt: n = 1 ⇒ λ = 2l.

Nu is de verhouding tussen f en l:

λ = v / f ⇒ f = v / λ ⇒ f = ½ v / l

Hieruit volgt dat de frequentie omgekeerd evenredig is met de lengte van de snaar. We kunnen nu dus stellen:

f2 / f1 = l1 / l2


Het bepalen van de grondfrequentie van mijn monochord heb ik op drie manieren gedaan: door het meten van de trillingstijd, met het computerprogramma IP-Coach en door het ijken van de snaar met een stemvork. Voor de lengte van de snaar heb ik steeds de volledige snaarlengte, 84,4 cm, genomen.


Manier 1: het meten van de trillingstijd.

Met een microfoon die verbonden was met de computer vond ik het volgende beeld:

Op de horizontale as staat de tijd, op de verticale as de geluidssterkte. Het is duidelijk dat uit deze figuur geen trillingstijd af te lezen is. Om dit toch te kunnen doen heb ik het geluid met een factor 3 versterkt en "ingezoomd" op een kleiner tijdsinterval. Zo verkreeg ik de volgende figuur:

Als je heel goed kijkt zou je hierin moeten kunnen zien dat één trilling bestaat uit vier toppen (en dus ook vier dalen). Dat zag ik ook niet, maar het moet toch zo zijn, want de frequentie is lager dan 110 Hz (dat blijkt door vergelijking met de piano). De andere trillingen zijn boventonen. In deze figuur heb ik een voor 13 trillingen de trillingstijd bepaald: 3,175 - 3,003 = 0,172 s. De frequentie van de grondtrilling is nu als volgt vast te stellen:

f = 1 / T = 1 / (0,172 / 13) = 13 / 0,172 ≈ 75,6 Hz

Manier 2: IP-Coach.

De vorige bepaling is misschien wel een beetje te gemakkelijk gedaan (hoewel er wel een antwoord uitkomt). Een betere manier is om op de figuur een lineaire transformatie uit te voeren. Die transformatie geeft als uitkomst een grafiek van de geluidssterkte uitgezet tegen de frequentie. Hoe deze transformatie precies in zijn werk gaat, weet ik niet, het is een heel ingewikkeld wiskundig algoritme dat de optelling van meerdere sinussen (trillingen) weer kan scheiden in de afzonderlijke sinussen. De computer kan dit echter erg goed en met behulp van het programma IP-Coach heb ik de volgende grafiek gekregen:

Hieruit is af te lezen dat de grondfrequentie rond de 52 Hz zou liggen. Daar ik vrij veel vertrouwen had in de vorige bepaling heb ik dezelfde transformatie uitgevoerd op het trillingspatroon van een stemvork van 440 Hz. Toen verscheen er een grafiek waaruit bleek dat de frequentie 40 Hz was. Vervolgens heb ik nog een paar keer een meting uitgevoerd op een toongenerator. Ook hier gaf IP-Coach zeer foute antwoorden. Er was echter geen duidelijk verband tussen de echte frequentie en de frequentie die IP-Coach gaf; het was bijvoorbeeld niet zo dat IP-Coach een factor 11 te laag zat, of 400 Hz te laag. Omdat ik hier niets van snapte en begon te twijfelen aan de juistheid van de apparatuur heb ik de helpdesk gebeld. Ook die wist zich eerst geen raad, maar uiteindelijk kreeg ik toch een verklaring: het lag aan aliasing. Dit zal ik kort toelichten, echter toch iets uitgebreider dan de helpdesk dat deed.


Aliasing

Voordat het programma IP-Coach een frequentie kan berekenen, wordt eerst het geluid opgenomen. Dit wordt gedaan door middel van een soort microfoontje, dat aan de computer is bevestigd via een interfacebord en –kaart (hierin worden de signalen van het microfoontje geschikt gemaakt voor verwerking door de computer). De signalen komen de computer binnen als een serie van stroompjes, waarvan de stroomsterkte de amplitude van het geluid voorstelt. IP-Coach kan aan de hand van die signalen een I-t diagram maken, waarin de stroomsterkte is afgebeeld als functie van de tijd. Die grafiek kan het programma vervolgens omzetten in een serie van frequenties.

De serie stroompjes die de computer binnenkomt kan normaalgesproken als continu worden beschouwd. Nu bleek dat echter niet het geval! Hoewel de frequentie van de stroompjes zeer groot is, is deze verre van constant. IP-Coach slaat namelijk per meting maar 2000 waarden op. Als nu de frequentie van de stroompjes dichtbij de frequentie van het geluid ligt, is er sprake van aliasing. Dit zal ik aan de hand van de volgende figuur duidelijk proberen te maken.

In deze figuur is een (u,t)-diagram te zien van de trilling van het geluid. De assen zijn t.b.v. het overzicht weggelaten. De verticale lijnen stellen de tijdstippen voor waarop een meting wordt gedaan door de computer. De waarde van die meting wordt weergegeven door de dikke stippen. Nu "weet" de computer niet wat er is gebeurd buiten de stippen. De computer gaat dus de stippen interpoleren: hij trekt er een vloeiende lijn door. De zo verkregen grafiek is wel een sinus, maar stelt niet de trilling van het geluid voor. Als we hier een frequentie van gaan berekenen, komen we (in dit geval) een factor 9,0 te laag uit.

Laten we de bovenstaande figuur nog eens bekijken: de trillingstijd van het geluid stellen we gelijk aan a s. De tijd tussen twee metingen is dan 9/8 a. Ook is de trillingstijd van de door de computer waargenomen golf af te lezen: 9 a. De werkelijke meetfrequentie is bij een meting van 5 s. ook te bepalen, want er worden per meting 2000 gegevens ingelezen. Per seconde worden dus 400 waarnemingen gedaan. Zie de uitwerking hieronder.

Tgeluid = a
Tcomputer = 9 a
Tmetingen = 9/8 a
fmetingen = 400 Hz
Tmetingen = 1 / fmetingen = 1 / 400
Tgeluid = 1/400 / 9/8 = 1/450
Tcomputer = 9 x 1/450 = 1/50
fgeluid = 450 Hz
fcomputer = 50 Hz


Om de computer een goed beeld te geven van de frequentie van de trilling die zich werkelijk voordoet, moet aan de volgende voorwaarden worden voldaan:


Omdat ik wist dat de frequentie van de toon die ik zocht ongeveer tussen de 50 Hz en 150 Hz lag, kon ik vrij precies bepalen hoe lang de meting moest duren. De trillingstijd van mijn snaar ligt dus tussen 1/150 en 1/50 s. De tijd tussen twee metingen moest dus maximaal 1/300 seconde zijn. De meetfrequentie moest dus minimaal 300 Hz zijn. Aangezien er maar 2000 metingen gedaan konden worden, kon de tijd van de totale meting maximaal 2000/300 = 6 2/3 seconde zijn. Dit is echter geen optie in IP-Coach; ik heb zekerheidshalve met verschillende duren gemeten. Hieruit verkreeg ik de volgende grafieken (de bovenste 3 metingen hebben de kortste meetduur):





Ik begrijp dat deze figuren op deze manier nauwelijks nauwkeurig zijn af te lezen, maar wel is te zien hoe de meetresultaten eruit zien. Ik heb met behulp van het computerprogramma waarden afgelezen, waaruit vrij duidelijk blijkt dat de grondfrequentie 89 Hz is. Het feit dat in de naast elkaar staande grafieken (dus meetresulaten met de zelfde meetduur) verschillende patronen voorkomen, betekent dat de samenstelling van boventonen verschillend is. Dit gaat over timbre, en daarmee zou ik me niet bezighouden, maar het ligt aan de manier en de plaats van het aanslaan van de snaar.


Manier 3: het ijken van de snaar.

Hierboven heb ik het volgende al aangetoond:

f2 / f1 = l1 / l2

Als we nu van een bepaalde toon zowel de snaarlengte als de frequentie weten, weten we ook de frequentie van de toon die wordt voortgebracht met een snaarlengte van 84,4 cm.

Omdat de meeste stemvorken een frequentie van 440 Hz hebben, heb ik voor die toon de snaarlengte bepaald. Daar die toon op mijn monochord niet goed te stemmen was, heb ik ook twee octaven daaronder geprobeerd. Telkens als ik de juiste toonhoogte bereikt had, mat ik de snaarlengte.

De resultaten van dit onderzoekje zijn als volgt:


Frequentie (Hz)

Snaarlengte (cm)

440

15,1

220

29,6

110

59,2


Aangezien het meten van de toon van 440 Hz niet echt goed ging, omdat ik moest werken met een heel kleine snaarlengte, en de andere twee tonen heel samenhangend zijn, schrap ik de eerste waarde.

De frequentie van de hele snaar is nu als volgt te bepalen:

f2 / f1 = l1 / l2

⇒ 220 / f = 84,4 / 29,6 ⇒ f ≈ 77,2 Hz

Manier 4: Het voelen van resonantie.

Ten laatste heb ik ook nog gebruikgemaakt van een toongenerator. Op die toongenerator, waarvan de frequentie gevarieerd kon worden, heb ik een box aangesloten. Direct daarnaast heb ik mijn monochord gelegd. Terwijl ik nu vrij luid met de toongenerator een geluid voortbracht, legde ik mijn vinger heel zacht op de snaar. Bij bepaalde frequenties voelde ik de snaar een heel klein beetje resoneren. Die frequentiegebieden waren tussen 70 en 80 Hz en rond 120 Hz, maar duidelijk niet bij 89 Hz.


Conclusie.

Ik heb op vier verschillende manieren geprobeerd om de grondfrequentie van mijn monochord te bepalen. Alle waren mijns inziens redelijk verantwoord en uit drie kwam een eensluidend antwoord: de frequentie van de grondtoon ligt rond de 76 Hz. Eén methode resulteerde echter in een duidelijk andere uitkomst, namelijk 89 Hz. Ik weet niet waaraan dit ligt, want het programma IP-Coach geeft van een stemvork wel zeer nauwkeurig exact de goede uitkomst. Eerst lag het aan aliasing, maar bij zoveel verschillende meetduren is dit ook geen verklaring meer. Wat nu echt de grondfrequentie van mijn monochord is, en ik weet zeker dat er één is, kan ik dus niet met zekerheid bepalen. Ik denk persoonlijk dat hij rond de 76 Hz ligt, omdat ik dat op wel drie manieren heb aangetoond, maar deze conclusie is natuurkundig gezien natuurlijk onjuist.

Ik heb met dit experiment wel vier manieren ontdekt en verkend om frequenties te bepalen en dat op zich was wel leuk en natuurlijk leerzaam.



Welke samenklanken zijn mooi?

In enkele boekjes over muziektheorie vond ik de stelling, dat samenklanken met een "simpele" frequentieverhouding het mooist klinken. Om te onderzoeken of deze stelling klopt heb ik het volgende experimentje uitgevoerd:

Ik heb als uitgangstonen de acht tonen uit de reine stemming genomen. Daarmee heb ik samenklanken gemaakt, op zo"n manier, dat de bovenste tonen steeds gelijk zijn. Als bovenste toon heb ik de A440 genomen. De samenklank van de kwint bijvoorbeeld bestaat dus uit de frequenties 2/3 x 440 = 293,3 Hz en 440 Hz. Van de acht samenklanken heb ik alle mogelijke combinaties (er ontstaan ½ x 8 x (8 – 1) = 28 combinaties) gemaakt en ik heb de proefpersonen (d.m.v. een computerprogramma) steeds gevraagd welke van de twee samenklanken ze het mooist vonden. De resultaten van dit onderzoekje zijn ondergebracht in de tabel hieronder.


Sext

27

24

Kwart

Terts

23

28

Kwint

Terts

38

13

Septiem

Secunde

10

41

Kwart

Octaaf

34

17

Kwart

Priem

38

13

Secunde

Kwint

24

27

Sext

Terts

23

28

Priem

Septiem

33

18

Secunde

Kwint

16

35

Octaaf

Secunde

18

33

Sext

Sext

18

33

Octaaf

Kwart

33

18

Terts

Octaaf

38

13

Terts

Kwart

16

35

Kwint

Terts

45

6

Secunde

Septiem

19

32

Kwint

Octaaf

40

11

Septiem

Septiem

18

33

Sext

Priem

13

38

Octaaf

Priem

24

27

Kwart

Priem

32

19

Sext

Kwart

35

16

Septiem

Sext

26

25

Terts

Secunde

15

36

Octaaf

Kwint

45

6

Secunde

Septiem

28

23

Priem

Kwint

31

20

Priem

 

760

668

 

Deze tabel is niet echt overzichtelijk, maar het enige waarvoor ik hem nodig heb, is om het onderstaande overzichtje te maken.


Octaaf

2:1

254

Kwint

3:2

211

Sext

5:3

193

Terts

5:4

185

Kwart

4:3

183

Priem

1:1

178

Septiem

15:8

138

Secunde

9:8

86


Hierin is de waarde achter het interval het aantal keren dat deze samenklank het mooist gevonden werd. Dit lijkt een subjectieve zaak, maar dat is het blijkens de grote verschillen niet helemaal. Verschillen van 3 of minder zijn uiteraard gezien het relatief kleine aantal proefpersonen te verwaarlozen.

Over het algemeen denk ik te kunnen concluderen dat de stelling in de muziekwerkjes klopt. Theoretisch gezien zou de priem (met de eenvoudigste verhouding) het mooist gevonden moeten worden, maar het feit dat dat uit mijn onderzoekje niet blijkt, is te verklaren uit het feit dat de priem maar uit één toon bestaat, terwijl alle andere samenklanken uit twee tonen bestaan.

Een samenklank van twee tonen is natuurlijk niets anders dan twee frequenties, die zich tegelijkertijd en door elkaar voordoen. Je zou het kunnen vergelijken met een trom, die elke tel een keer slaat en een triangel die elke anderhalve tel in trilling wordt gebracht. Dit is uitgebeeld in dit patroon:

TromX.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X.X
TriangelX..X..X..X..X..X..X..X..X..X..X..X..X..X..X..X..X..X..X

Dit patroon herhaalt zich elke drie seconden. Een zelfde soort patroon krijg je als je de frequenties vermenigvuldigt met honderd. Je zou je nu kunnen voorstellen dat de ingewikkeldheid van één patroon samenhangt met de mooiheid (ook wel genoemd de "gradus suavitatis", de graad van zoetheid) van een samenklank. In dit geval is dat patroon:

X.X.X.

X..X..

Dit is natuurlijk niet echt een duidelijke manier om een trilling te visualiseren. Gebruikelijker is om een grafiek te geven, waarin langs de horizontale as de tijd is uitgezet en langs de verticale as de uitwijking. Doen we dit nu voor dezelfde twee trillingen (d.w.z. met een frequentieverhouding 3:2), dan krijgen we de volgende figuur:

In deze figuur is de "gradus suavitatis" het gedeelte tussen 0 en het pijltje, daarna herhaalt hetzelfde patoon zich weer.

Een nog mooiere manier om twee trillingen te visualiseren is door middel van een kromme. De parametervoorstelling van de kromme van dit voorbeeld is k: (x, y) = (sin 3t, sin 2t). Hieruit volgt de volgende figuur:

De gradus suavitatis is hierin moeilijk af te lezen, maar is wel gemakkelijk te zien en te vergelijken met andere figuren. Voor een verhouding 7:19 ontstaat bijvoorbeeld de figuur hieronder. Dat de gradus suavitatis lager is, is te zien aan de hogere dichtheid van lijnen.


Euler, een beroemd wis- en natuurkundige uit de achttiende eeuw, heeft een maat vastgesteld voor de gradus suavitatis: de expónens. Dat is het aantal gelijke delen waarin een patroon verdeeld moet worden opdat elk maximum in zo"n deel valt. In ons voorbeeld zou dat 6 zijn (tel maar na). Dit is ook wiskundig te bepalen: je moet de frequenties delen door hun grootste gemene deler (GGD) – je krijgt dan het zich herhalende deel van het patroon of de frequentieverhouding – en neemt daarvan het kleinste gemene veelvoud.

Om dit toe te lichten nemen we een nieuw voorbeeld, twee tonen met de frequenties 600 en 450 Hz. We delen deze frequenties door hun GGD, dat is 150. We houden over 4 en 3. Hiervan nemen we het kleinste gemene veelvoud, dat is 12. De expónens is dus 12.

Nu moeten we alleen nog even uitzoeken welke expónensen mooi zijn en welke lelijk. We weten al dat de octaaf mooi is, en de expónens van de octaaf is 2. Het is dus zo dat een lage expónens overeenkomt met een mooie samenklank. Nu kunnen we de resultaten van het onderzoek iets kwantitatiever beschouwen:

Naam

Verh.

Punten

Expónens

Octaaf

2:1

254

2

Kwint

3:2

211

6

Sext

5:3

193

15

Terts

5:4

185

20

Kwart

4:3

183

12

Priem

1:1

178

1

Septiem

15:8

138

120

Secunde

9:8

86

72

De afwijking bij de priem is al verklaard, de afwijking bij de sext, terts en kwart is min of meer te verwaarlozen, omdat het puntenaantal relatief maar weinig verschilt. Het enige rare dat er nu nog overblijft, is de volgorde van de septiem en de secunde. De expónens van de secunde is duidelijk gunstiger dan die van de septiem, en toch geven mijn proefpersonen de voorkeur aan de septiem. Een goede natuurkundige verklaring hiervoor kan ik niet vinden, maar het zou zo kunnen zijn dat de septiem mooier wordt gevonden omdat de secunde maar een klein interval is, de twee tonen liggen dicht bij elkaar. De septiem daarentegen is op het octaaf na het grootste interval, en dit vindt men misschien mooier, omdat dat in de opzet van mijn experiment betekende, dat er een lagere toon te horen was, en daar hebben veel proefpersonen een voorkeur voor. Ook ligt de septiem maar een beetje van een octaaf, de reinste samenklank, af.

Voor samenklanken van meer dan twee tonen geldt dezelfde manier van het bepalen van de expónens. Nemen we bijvoorbeeld drie tonen met de frequenties 300, 400 en 500 Hz. De grootste gemene deler is 100 en het kleinste gemene veelvoud van 3, 4 en 5 is 60. Maar er zijn ook nog andere frequenties te bedenken die dezelfde expónens opleveren, bijvoorbeeld een van 100 Hz. De GGD van de nu vier tonen blijft 100 en de expónens blijft 60. De frequenties waarvoor deze gelijk blijft zijn 100, 200, 300, 400, 500, 600, 1000, 1200, 1500, 2000, 3000 en 6000. Dit noemt Euler een volledig akkoord; er kan geen enkele toon toegevoegd worden zonder dat de GGD kleiner of het kleinste gemene veelvoud groter wordt, waardoor de expónens zou toenemen. Op deze manier kunnen "zuivere" akkoorden worden samengesteld.



Toonladders

De toetsen van een octaaf van een piano zien er zo uit:

Je zou je kunnen afvragen waarom de octaaf (blijkbaar) uit 12 tonen bestaat. Hoewel er 2000 jaar geleden nog geen piano was, was deze verdeling in 12 er toen ook al en ook Pythagoras vroeg zich af waarom dat zo was. Hij construeerde om dit te verklaren een wiskundige stemming. Hij baseerde deze stemming op de frequentieverhouding 1:2 van het octaaf en die van 2:3 van de kwint. Deze verhoudingen had hij met een monochord en zijn gehoor bepaald. Om een toonladder te maken nam hij van een toon, die hij gelijk stelde aan 1, een kwint, die dus uitkwam op 3/2. Van deze kwint nam hij nog 5 keer een kwint. Van de eerste toon ging hij ook 6 keer omlaag. De verkregen tonen bracht hij in het bereik van een octaaf door te vermenigvuldigen of te delen door 2. Dit ziet er zo uit:

16x(3/2)-6 8x(3/2)-5 8x(3/2)-4 4x(3/2)-3 4x(3/2)-2 2x(3/2)-1 (3/2)0 (3/2)1 (3/2)2/2 (3/2)3/2 (3/2)4/4 (3/2)5/4 (3/2)6/4

Deze serie zette hij in oplopende volgorde en zo verkreeg hij de "Stemming van Pythagoras", die eeuwenlang gebruikt is bij het stemmen van instrumenten:

1 256/243 9/8 32/27 81/64 4/3 1024/729 729/912 3/2 128/81 27/16 16/9 243/128

Het valt behoorlijk op dat er hier dertien noten staan i.p.v. twaalf. Dit zag Pythagoras ook wel, maar hij vond dat de afstand tussen 1024/729 en 729/512 zo klein was, dat hij zich daar niet meer druk om maakte.

Deze stemming van Pythagoras bleek na een paar eeuwen toch niet meer helemaal te voldoen. Behalve dat het wat rammelde met dat verwaarlozen, zit er ook geen zuivere verhouding 5/4 (de terts) in, die toch in de muziek wel eens gebruikt werd. Ook zit er nooit een zuiver octaaf in, want (3/2)x = 2 ∧ x ∈ Z heeft geen oplossingen. Het eerste en het derde nadeel waren niet zo erg, want dat kon met het stemmen wel een beetje verholpen worden (want daar ging het allemaal om), maar het probleem met de terts was zo groot, dat de venetiaanse kapelmeester Gioseffo Zarlino een nieuwe stemming bedacht. Hij ging hierbij uit van de priem (1/1), de terts (5/4), de kwart (4/3) en de kwint (3/2). Hij leidde hieruit een hele toonladder af door de verschillen hiertussen te nemen. Dit is echter vrij lastig en vraagt een vrij grote kennis van de muziektheorie, die ik van mijn lezers niet kan verwachten. Bovendien valt het wat buiten de doelen van dit onderzoek. De methode komt erop neer dat je vanuit een toon met frequentie f een terts omhoog gaat en ook een kwart en het verschil daarvan gelijk stelt aan een secunde. Vervolgens ga je vanuit de kwint, die immers ook al bekend is, een secunde omhoog en vanuit het octaaf een secunde omlaag.

1 16/15 9/8 10/9 6/5 5/4 4/3 3/2 8/5 5/3 16/9 9/5 15/8

Ook hier staan er weer 13 tonen. De afwijking zit "m hier in de verhoudingen 9/8 en 10/9, die volgens Zarlino bijna gelijk zijn. De verhouding tussen deze twee verhoudingen (81/80) wordt het syntonische komma genoemd. De stemming van Zarlino (ook wel "reine" stemming genoemd) wordt nu nog steeds gebruikt.

Veel instrumenten worden nu echter anders gestemd. Een probleem van beide vorige stemmingen is namelijk, dat als je vanuit een andere toon begint, je heel andere tonen krijgt. Stellen we bijvoorbeeld in de reine stemming de derde toon (9/8) gelijk aan 1 (op een piano zou dat betekenen dat je bij de e zou beginnen te spelen) en gaan we daarvandaan twee omhoog, dan krijgen we 9/8 x 9/8 = 81/64, hetgeen ongelijk is aan 10/9. Dit levert problemen op als verschillende instrumenten samen willen spelen, en dat gebeurt tegenwoordig vrij veel (orkesten, bands, etc.). Nu worden veel instrumenten volgens de getempereerde stemming gestemd. Dat houdt in, dat het octaaf in 12 gelijke delen wordt verdeeld, waarbij elk deel gelijk is. Eén afstand is dus gelijk aan de twaalfdemachtswortel van 2. Hierbij gaan alle zuivere intervallen verloren ten behoeve van het samenspel.

Nu zou men zich kunnen afvragen waarom het octaaf nu juist in 12 delen is onderverdeeld. Een antwoord dat hierop gegeven zou kunnen worden, is: "Omdat het nou eenmaal zo is". Voor dat antwoord valt wel wat te zeggen, want de muziek was er immers vóór de muziektheorie. Toch wil ik proberen een verklaring vanuit die muziektheorie te geven.

We kwamen net al de vergelijking (3/2)x = 2 ∧ x ∈ Z tegen. In deze vergelijking mist nog één onderdeel. Een kwint tot de macht iets hoeft namelijk niet precies één octaaf te zijn, het mogen er ook 4, 8, 16 enz. zijn. Daarom breiden we de vergelijking uit tot:

(3/2)x = 2y ∧ x ∈ Z ∧ y ∈ Z.

Dit wordt: x / y = log 2 / log (3/2)


Dit heeft echter net zo min oplossingen als de eerste vergelijkingen. Wat we dus moeten doen is benaderen. Dat kan met behulp van erg moeilijke wiskundige berekeningen, maar aangezien zelfs dhr. Plak en dhr. Smit dat niet snapten, heb ik het maar gedaan met het (zelf geschreven) computerprogramma hieronder.

tebenaderen = LOG(2) / LOG(3 / 2)
vorigeuitkomst = 1

FOR x = 1 TO 100
FOR y = 1 TO x
IF ABS(tebenaderen - x / y) < vorigeuitkomst THEN
PRINT STR$(x) + "/" + STR$(y)
vorigeuitkomst = ABS(tebenaderen - x / y)
END IF
NEXT y
NEXT x

END

Dit geeft als uitkomsten voor x/y (met x ∈ [1,100] ∧ y ∈ [1,100] ):

2/1
3/2
5/3
7/4
12/7
29/17
41/24
53/31

In y, hoeveel octaven er worden bereikt, zijn we niet echt geïnteresseerd. We kunnen een octaaf onderverdelen in x gelijke delen, als we uitgaan van de kwint. Ik zal ze stuk voor stuk kort toelichten.


Natuurlijk zijn ook andere toonstelsels mogelijk. Het spreekt voor zich dat een 24-tonig stelsel beter klinkt dan het 12-tonig stelsel; er gaan immers geen tonen verloren en er komen er wel 12 bij. De bovenstaande lijst is gebaseerd op de kwint, omdat dat (op de octaaf na) het "mooiste" interval is, hetgeen ook blijkt uit mijn onderzoek elders in dit onderzoek. We zouden een zelfde soort schema ook kunnen opstellen op basis van bijvoorbeeld de kwart, maar dan zouden de daaruit volgende toonstelsels toch niet zo mooi klinken als de bovenstaande, omdat de kwint mooier is dan de kwart, hetgeen ook uit mijn onderzoek is gebleken.



Nawoord.

Ik ben door dit onderzoek behoorlijk wat wijzer geworden over de fysica van de muziek. Ook over de natuurkunde op zich heb ik echter een weinig geleerd. In het eerste onderdeel viel het me op, hoe moeilijk het kan zijn om aan simpele gegevens te komen. In "normale" natuurkundesommetjes worden deze gegevens altijd simpelweg gegeven, maar het blijkt nooit wat er allemaal gedaan is om aan die gegevens te komen. Om alleen een frequentie te bepalen, heb ik vier experimenten uitgevoerd, die alle behoorlijk wat werk met zich mee brachten. Eén daarvan gaf een mij niet tevreden stellende uitkomst, en het geeft een zeer onbevredigd gevoel om een experiment uit te voeren zonder uitkomst. Toch heb ik het hier maar bij gelaten, omdat mijn kennis van de natuurkunde mij niet verder kon brengen.

In het tweede onderdeel heb ik wat geëxperimenteerd met onderzoek naar de smaak van mensen. Omdat dit een subjectieve zaak lijkt moest ik zo veel mogelijk proefpersonen hebben om een algemene lijn te kunnen trekken. Ik heb 52 ondervraagd, hetgeen volgens mij wel behoorlijk veel is, maar toch bracht dit nog niet echt duidelijke resultaten; er waren, op een paar uitzonderingen na, niet echt duidelijke verschillen tussen de scores van verschillende intervallen. Bij dit onderzoek had ik soms de neiging om de proefpersonen te vragen: "Hoe kun je dat nou vinden?!?", maar ik heb me steeds in kunnen houden, want ieders mening moet even zwaar meetellen. Bij dit onderzoek heb ik ook gemerkt, dat je ook rekening moet houden met andere zaken dan de variabele die je onderzoekt. Maakte ik bijvoorbeeld het interval groter, dan betekende dat in het experiment dat er een lagere toon te horen was. Sommige mensen hebben een grote voorkeur voor lage tonen, en gaven deze toon daarom veel punten, zonder al te veel op het interval te letten.

In het derde deel heb ik vooral wat opgestoken over het rekenen met breuken, wat ik al lang niet meer gedaan had. In dit geval moest het wel, omdat mijn rekenmachientje de grote getallen niet goed aankon. Achteraf was het misschien wel leuk geweest zijn het monochord zo te construeren dat de frequentie variabel was, maar dat was voor dit onderzoek niet nodig geweest.

De totale hoeveelheid tijd die in dit onderzoek is gaan zitten, is me behoorlijk tegengevallen. Er kwamen namelijk allerlei dingen naar voren, die niet echt met het onderzoek te maken hadden, maar toch gedaan moesten worden voor het onderzoek. Een voorbeeld hiervan zijn het schrijven van een macro in mijn tekstverwerker om breuken te kunnen weergeven en het installeren van IP-Coach op de schoolcomputer.



Bronvermelding / Dankbetuiging.

Voor dit onderzoek heb ik de volgende boeken gebruikt:


Ik wil graag de volgende personen bedanken voor hun medewerking aan het "mooiheidsexperiment":

Roelien Bonkes
Peter Rijtema
Cor Groenenboom
Writser Cleveringa
Pieter Dijkema
Marco Mastenbroek
Bob Groothuis
Janny Eising
Simon Eising
Jaap Dijkema
Jan Eising
Peter Eising
Gijsbert dos Santos
Jasper Klewer
Hanneke Berends
Andreas Lameris
Joost M. van de Vooren
Niels van Steenpaal
Gert-Jan van der Krogt
Judy Lim
Berend Dekens
Hidde van der Linde
Matthijs 'The Warlock' Bomhoff
Bart Lim
Gerda Speelman
Rob Davids
Paul de Vreede
Martin Holterman
Ruud Timmer
Brenda Hooiveld
Marijn Nijhuis
Rob Klinkhamer
M.C.R. Hoogeveen
Jo Idema
Karolien Jaspers
Ilse Veldman
Martijn-Willem Oosting
Jan Kuipers
Marcel de Vries
Remko Foekema
Bert Grit
Marleen Kruizenga
Jorg van der Liet
Arjen van der Ziel
Merith Harkink
Marissa van den Berkt
Jochem Prins
Marije Broekhuijsen
Michiel van Witzenburg
Yvonne van der Starre
Dirk Nijborg

Verder wil ik graag speciaal de volgende personen bedanken:


Kleine muisjes hebben kleine wensjes
Beschuitjes met gestampte mensjes